二项分布期望和方差推导

原文: http://zhuanlan.zhihu.com/p/502063938

若随机变量$X$服从二项分布,即$X\sim B(n,p)$，则有$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$，其均值和方差分别是 $E(X)=np$ $D(X)=np(1-p)$

之前学二项分布的时候看到它的期望和方差觉得形式很简单，就没怎么细看推导过程。但是自己去推导的时候发现也没那么简单。。。本文做个总结

二项分布期望

整个推导过程如下

\[\begin{align} E(k) &=\sum_{k=0}^{n} k p(k) \\ &=\sum_{k=0}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}\right) p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k}(1-p)^{n-k} \\ &=\sum_{k=1}^{n} k \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k} q^{n-k} \\ &=n p \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-1) !}{(k-1) !(n-k) !} p^{k-1} q^{(\mathrm{n}-1)-(\mathrm{k}-1)} \\ &=n p \end{align} \\\]

第1到第3行应该很好理解，不过需要注意的是第3行的下标从 $k=1$开始了，因为$k=0$时值为0所以省略了。
第4行：把排列组合展开了
第5行：令$q=1-p$
第6行：这是整个推导过程magic所在。为更加方便理解，对于式(6)右边那一坨 $\sum_{k=1}^n\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}p^{k-1}q^{(n-1)-(k-1)}$，我们可以做一下换元，即令$z=k-1,m=n-1$，注意原式的k取值范围是 $k\in[1,n]$ ,那么z的取值范围应该就是 $z\in[0,n-1]$ ，所以换元后式(6)变形得到$\sum_{z=0}^{m}\frac{m!}{z!(m-z)!}p^zq^{m-z}$,这就是二项分布概率累加，其结果为1。

二项分布方差

$D(X)=E[X-EX]^2=E[X^2-2XEX+(EX^2)]$

注意$EX$可视为一个常数，所以 $E[2XEX]=2EX E[X]=2(EX)^2$ ，同理 $E[(EX)^2]=(EX)^2$ ，综上 $D(X)=EX^2-(EX)^2$

下面我们只需要在计算$EX^2$即可，推导过程和上面比较类似，具体如下：

$\begin{align} E\left(k^{2}\right) &=\sum_{k=0}^{n} k^{2} p(k) \ &=\sum_{k=1}^{n} k^{2}\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \ &=\sum_{k=1}^{n}[\mathrm{k}(\mathrm{k}-1)+\mathrm{k}]\left(\begin{array}{c} n \ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1)\left(\begin{array}{c} n \ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k}+\sum_{k=1}^{n} k\left(\begin{array}{c} n \ k \end{array}\right) p^{k} q^{n-k} \ &=\sum_{k=1}^{n} k(k-1) \frac{n !}{k !(n-k) !} p^{k} q^{n-k}+n p \ &=n(n-1) p^{2} \sum_{k=1}^{n} \frac{(n-2) !}{(k-2) !(n-k) !} p^{k-2} q^{(n-2)-(k-2)}+n p \ &=n(n-1) p^{2}+n p \end{align} \$

所以$DX=EX^2-(EX)^2=n(n-1) p^{2}+np-(np)^2=np(1-p)$

参考

微信公众号：AutoML机器学习

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2022-04-20 20:00:20