【GAMES101-现代计算机图形学课程笔记】Lecture 02 Linear Algebra

April 25, 2020

2020   ·   techniques     ·   techniques  

原文: http://zhuanlan.zhihu.com/p/136293369

1. Vector （向量 / 矢量）

1.1 基础回顾

  • 向量表示方式为 $\vec{a}$ 或者 $\boldsymbol{a}$
  • 向量长度 $|\vec{a}|$
  • 单位向量表示方式为：$\hat{a}=\vec{a} /|\vec{a}|$
  • 向量表示采用笛卡尔坐标(Cartesian Coordinates)，例如
\[\mathbf{A}=\left(\begin{array}{l}x \\ y\end{array}\right) \quad \mathbf{A}^{T}=(x, y) \quad\|\mathbf{A}\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\]

注意，一般默认向量为列向量。

1.2 向量相乘

1.2.1 点乘

  • 定义：

$\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta$ $\cos \theta=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

  • 性质

$\vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{b} \cdot \vec{a}$ $\vec{a} \cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}$ $(k \vec{a}) \cdot \vec{b}=\vec{a} \cdot(k \vec{b})=k(\vec{a} \cdot \vec{b})$

  • 计算示例
\[\vec{a} \cdot \vec{b}=\left(\begin{array}{l}x_{a} \\ y_{a}\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l}x_{b} \\ y_{b}\end{array}\right)=x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}\]
  • 用途

1） 计算投影

2） 判断两个向量是否同向

点乘结果>0就表示基本同向，=1表示方向完全一致。

1.2.2 叉乘

  • 定义

$a \times b=-b \times a$ $|a \times b|=|a||b| \sin \phi$

使用右手法则。

叉乘不满足交换律。

  • 用途

1）生成坐标轴

\[\vec{x} \times \vec{y}=+\vec{z}\] \[\vec{y} \times \vec{x}=-\vec{z}\] \[\vec{y} \times \vec{z}=+\vec{x}\] \[\vec{z} \times \vec{y}=-\vec{x}\] \[\vec{z} \times \vec{x}=+\vec{y}\] \[\vec{x} \times \vec{z}=-\vec{y}\]

2）判定左 / 右 或者 内 / 外

比如一直坐标系由XYZ组成，然后现在想判断向量b是在a的左边还是右边，之需要求出$\vec{x} \times \vec{y}$可以知道与$\vec{z}$同向，所以b在a左边。

$\vec{AP}$始终在三条有向边$\vec{AB},\vec{BC},\vec{CA}$的同一侧(左侧)，所以p点在三角形内侧。

注意：三角形三条边的向量必须首尾相连，所以如果我们把下面三角形的三条边向量换一个方向，但是因为最后可以算出AP都在三条边的右侧，即同一侧，所以P点在三角形内侧。

2. Matrix (矩阵)

矩阵在图形学里常用于表示变换(Transformations),比如 translation,rotation,shear,scale等。

矩阵相乘运算

\[\left(\begin{array}{ll}1 & 3 \\ 5 & 2 \\ 0 & 4\end{array}\right)\left(\begin{array}{llll}3 & 6 & 9 & 4 \\ 2 & 7 & 8 & 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}9 & ? & 33 & 13 \\ 19 & 44 & 61 & 26 \\ 8 & 28 & 32 & ?\end{array}\right)\]

以右边那个8为例，可以看到它是第三行第一列，所以直接找到左边矩阵的第三行，即 [0\,\,4]，和右边矩阵第一列 [3\,\,2]^T,然后做点积即可求得为8.

  • 性质
  • $(\mathrm{AB}) \mathrm{C}=\mathrm{A}(\mathrm{BC})$
  • $A(B+C)=A B+A C$
  • $(\mathrm{A}+\mathrm{B}) \mathrm{C}=\mathrm{AC}+\mathrm{BC}$
  • 矩阵转置：$(A B)^{T}=B^{T} A^{T}$
  • 对角矩阵：只有对角线上有非零元素
  • 单位矩阵：对角线上全为1的对角矩阵

  • 矩阵的逆：

  • $A A^{-1}=A^{-1} A=I$
  • $(A B)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$

矩阵乘法转化成矩阵形式

  • 点积
\[\begin{aligned} & \vec{a} \cdot \vec{b}=\vec{a}^{T} \vec{b} \\=\left(\begin{array}{lll}x_{a} & y_{a} & z_{a}\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b}\end{array}\right)=\left(x_{a} x_{b}+y_{a} y_{b}+z_{a} z_{b}\right) \end{aligned} \\\]
  • 叉乘
\[\vec{a} \times \vec{b}=A^{*} b=\left(\begin{array}{ccc}0 & -z_{a} & y_{a} \\ z_{a} & 0 & -x_{a} \\ -y_{a} & x_{a} & 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}x_{b} \\ y_{b} \\ z_{b}\end{array}\right)\]

注意 ： A*b的*不表示乘法

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2020-04-24 23:32:12

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