从向量空间的角度来理解方程组有无解的问题
在开始之前，我们需要明确方程组可以转化成一组列向量的线性组合。什么意思呢？我们以下面一个例子进行介绍：
$x_1+2x_2+x_3 = 1 \ 2x_1+3x_2+3x_3 = 3 \ x_1+3x_2+x_3=3$ 可转化成如下形式：
所以实际上上面方程组的本质就是对 三个列向量进行线性组合得到
，至于如何组合就是X的解。
上面的方程组可以进一步用AX=b的形式表示，我们结合上面的方程组从如下两种情况来讨论方程组有无解的问题。
b=0
这种情况就是对三个列向量进行线性组合，最后得到原点。
- 如果r(A)=n,即满秩(如图1)，那么A中所有列向量线性独立，换句话说就是其中一个列向量无法由其余的列向量线性表示，即不存在 $k_2,k_3$ 满足 $-a_1=k_2a_2+k_3a_3$ ,所以此时只有X=0才有解，但是这并不是我们关心的解。
- 如果r(A)<n时(即图2),那么表示A中的列向量不是相互独立的，也就是说其中某一个列向量一定能由其他的列向量线性表示( $-a1=k_2a_2+k_3a_3$ )，因此该情况有解。
b≠0
这种情况就是对三个列向量进行线性组合，最后得到一个向量b。
- 第一种情况： $r(A)=n$ ,如图3所示，A中三个列向量线性独立，也就是说三个列向量是三个独立的基向量，所以任意的向量都能由这三个向量线性表示，而此时只有唯一解。
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第二种情况： ![r(A)=r([A b])<n](https://www.zhihu.com/equation?tex=r%28A%29%3Dr%28%5BA%7Cb%5D%29%3Cn) ,如图4所示，此时有无限解。 -
第三种情况： ![r(A)<r([A b])](https://www.zhihu.com/equation?tex=r%28A%29%3Cr%28%5BA%7Cb%5D%29) ,如图5，也就是说向量 $b$ 属于一个新的维度。例如图5中A的三个列向量只构造出了一个二维空间，而b并不在这个二维空间里，因此无论如何也无法用三个列向量线性表示出b，因此这种情况无解。
总结
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Ax=b
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若r(A)=r([A b]): - r(A)=r(B)=n,有唯一解
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r(A)=r(B)<n,有无限多解
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若r(A)≠r(B)无解
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Ax=0
- 若r(A)=n只有零解
- 若r(A)<n有无限解